Cara yang berbeza untuk membuktikan Teorem Pythagoras: Contoh, penerangan dan ulasan

Satu perkara yang pasti seratus peratus bahawa soalan itu, yang adalah sama dengan kuasa dua hipotenus, mana-mana orang dewasa dengan berani menjawab: ". Jumlah kuasa dua kaki" teorem ini tegas terperangkap dalam minda setiap orang berpendidikan, tetapi anda hanya meminta seseorang untuk membuktikannya, dan mungkin terdapat kesukaran. Oleh itu, marilah kita ingat dan mempertimbangkan cara-cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras.

Gambaran keseluruhan biografi

Teorem Pythagoras adalah biasa kepada hampir semua orang, tetapi atas sebab tertentu, kehidupan manusia, yang telah berjaya sampai ke cahaya, tidak begitu popular. Ini boleh dipecahkan. Oleh itu, sebelum anda meneroka cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras, kita mesti secara ringkas berkenalan dengan keperibadiannya.

Pythagoras - ahli falsafah, ahli matematik, ahli falsafah berasal dari Greece purba. Hari ini ia adalah amat sukar untuk membezakan biografinya dari legenda yang telah ditubuhkan pada ingatan manusia besar ini. Tetapi ia mengikuti dari karya-karya para pengikutnya, Pifagor Samossky dilahirkan di Pulau Samos. Bapanya adalah Pemahat batu biasa, tetapi ibunya datang dari keluarga bangsawan.

Menurut legenda, kelahiran Pythagoras meramalkan wanita bernama Pythia, yang dalam kehormatan dan dinamakan budak itu. Menurut ramalan beliau lahir seorang anak yang akan membawa banyak manfaat dan kebaikan kepada manusia. Bahawa sebenarnya dia lakukan.

Kelahiran teorem

Mudanya, Pythagoras berpindah dari Samos ke Mesir untuk bertemu dengan bijaksana Mesir dikenali. Selepas bertemu dengan mereka, beliau dimasukkan ke latihan, dan tahu di mana semua pencapaian yang besar falsafah Mesir, matematik dan perubatan.

Ia mungkin di Mesir Pythagoras diilhamkan oleh keagungan dan keindahan piramid dan mencipta teori yang besar. Ia mungkin mengejutkan pembaca, tetapi ahli sejarah moden percaya bahawa Pythagoras tidak membuktikan teorinya. Dan hanya memberikan pengetahuan beliau pengikut yang kemudiannya melengkapkan semua pengiraan matematik yang diperlukan.

Apa pun itu, ia kini dikenali lebih daripada satu kaedah pembuktian teorem ini, tetapi beberapa. Hari ini hanya boleh meneka bagaimana orang Yunani dibuat pengiraan mereka, jadi ada pelbagai cara untuk melihat bukti teorem Pythagoras.

teorem Pythagoras '

Sebelum memulakan sebarang pengiraan, anda perlu mengetahui teori untuk membuktikan. Teorem Pythagoras adalah: "Dalam sebuah segitiga di mana salah satu sudut ^kira-kira 90, jumlah kuasa dua kaki sama dengan kuasa dua hipotenus."

Secara keseluruhannya, terdapat 15 cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras. Ini adalah angka yang agak tinggi, jadi memberi perhatian yang paling popular daripada mereka.

satu kaedah

Pertama, kita menunjukkan bahawa kita diberikan. Data-data ini akan diperluaskan kepada lain-lain kaedah bukti teorem Pythagoras, jadi ia adalah hak untuk ingat semua jawatan yang sedia ada.

Andaikan diberikan segitiga bersudut tegak dengan kaki, dan hipotenus yang bersamaan dengan c. Kaedah pertama adalah berdasarkan bukti itu, kerana segi tiga tepat diperlukan untuk menyelesaikan dataran.

Untuk melakukan ini, anda perlu dengan panjang kaki segmen yang sama dengan menyelesaikan kaki dalam, dan begitu juga sebaliknya. Jadi ia perlu mempunyai kedua-dua pihak sama dataran. Kita hanya boleh melukis dua garis selari, dan persegi telah sedia.

Di dalam, angka yang terhasil perlu untuk menarik persegi lain dengan pihak yang sama dengan hipotenus segi tiga asal. Untuk tujuan ini mercu ac dan komunikasi adalah perlu untuk menarik dua segmen yang sama dengan selari. Oleh itu mendapatkan tiga sisi persegi, salah satu daripadanya ialah segi empat tepat asal triangles hipotenus. Docherty kekal hanya segmen keempat.

Berdasarkan corak yang terhasil dapat disimpulkan bahawa kawasan luar persegi adalah sama dengan (a + b) ^2. Jika anda melihat ke dalam angka, anda boleh melihat bahawa di samping pelataran ia mempunyai empat segi tiga bersudut tegak. Bidang masing-masing adalah 0,5av.

Oleh itu, kawasan ini sama dengan: 4 * 0,5av + c ² = a ² + 2av

Oleh itu, (a + b) ² = c ² + 2av

Dan oleh itu, dengan ² = a ² + ²

Ini membuktikan teorem.

Kaedah dua: segi tiga sama

Formula ini adalah bukti teorem Pythagoras diperoleh atas dasar kelulusan seksyen geometri segi tiga ini. Ia menyatakan bahawa kaki segi tiga tepat - berkadar purata untuk hipotenus dan panjang hipotenus, yang berpunca dari bucu ^90.

Data awal adalah sama, jadi mari kita mulakan segera dengan bukti. Menarik berserenjang ke tepi segmen AB CD. Berdasarkan kelulusan di atas kaki segi tiga adalah sama:

AC = √AV * AD, CB = √AV * DV.

Untuk menjawab persoalan bagaimana untuk membuktikan teorem Pythagoras, bukti perlu dihalakan oleh menyegiempatkan kedua-dua ketaksamaan.

AC ² = AB * BP dan CB ² = AB * DV

Sekarang anda perlu untuk menambah sehingga ketidaksamaan yang terhasil.

AU ^{2 2} + CB = AB * (BP * ET) di mana BP = AB + ET

Ia ternyata bahawa:

AC ² + ² = CB AB * AB

Dan oleh itu:

AU ^{2 2} + CB = AB ²

Bukti teorem Pythagoras dan cara-cara yang berbeza penyelesaiannya perlu pendekatan yang pelbagai kepada masalah ini. Walau bagaimanapun, pilihan ini adalah salah satu yang paling mudah.

Satu lagi kaedah pengiraan

Keterangan cara yang berbeza untuk membuktikan Pythagoras Theorem boleh menjadi apa-apa untuk mengatakan, selagi ramai yang tidak sendiri telah mula mengamalkan. Kebanyakan teknik melibatkan bukan sahaja matematik, tetapi juga pembinaan segi tiga asal angka baru.

Dalam kes ini ia adalah perlu untuk menyelesaikan kaki BC segi tiga yang lain bersudut tegak IRR. Jadi sekarang terdapat dua segi tiga dengan kaki biasa Sun.

Mengetahui bahawa bidang angka yang sama mempunyai nisbah sebagai kuasa dua dimensi linear sama mereka, maka:

S _ABC * ² - S ² * _HPA = S * dan _AVD ² - S ² * a _VSD

_Abc * S ^{(2-c 2)} = ² * (S _AVD -S _VVD)

-untuk ^{2 2} = a ²

² = a ² + ²

Kerana kaedah yang berbeza bukti teorem Pythagoras untuk gred 8, pilihan ini adalah tidak sesuai, anda boleh menggunakan prosedur berikut.

Cara yang paling mudah untuk membuktikan teorem Pythagoras. ulasan

Ia dipercayai oleh ahli sejarah, kaedah ini mula digunakan untuk bukti teorem di Greece purba. Beliau adalah yang paling mudah kerana ia tidak memerlukan sama sekali tidak ada bayaran. Jika anda menarik gambar dengan betul, bukti dakwaan bahawa ² + ² = c ^2, ia akan dapat dilihat dengan jelas.

Terma-terma dan syarat-syarat bagi proses ini akan menjadi sedikit berbeza daripada yang sebelumnya. Untuk membuktikan teorem, menganggap bahawa segi tiga bersudut tegak ABC - sama kaki.

Hipotenus AC mengambil alih arah dataran dan docherchivaem tiga sisinya. Selain ia adalah perlu untuk menghabiskan dua garisan pepenjuru untuk membentuk persegi. Oleh itu, untuk mendapatkan empat segi tiga sama sisi di dalamnya.

Oleh Catete AB dan CD seperti yang diperlukan Docherty di dataran dan tahan pada satu baris pepenjuru dalam setiap daripada mereka. Menarik garis dari bucu pertama A, kedua - dari C.

Sekarang kita perlu mengambil melihat lebih dekat pada imej yang terhasil. Sebagai hipotenus AC adalah empat segi tiga sama dengan yang asal, tetapi di Catete dua, ia bercakap tentang kebenaran teorem ini.

Dengan cara ini, terima kasih kepada teknik ini, bukti teorem Pythagoras, dan dilahirkan frasa yang terkenal: ". Seluar Pythagoras dalam semua arah adalah sama"

J. Bukti. Garfield

Dzheyms Garfild - kedua puluh Presiden Amerika Syarikat. Selain itu, beliau telah meninggalkan kesan dalam sejarah sebagai pemerintah Amerika Syarikat, dia juga seorang yang berbakat otodidak.

Pada awal kerjayanya, beliau adalah seorang guru biasa di sekolah rakyat, tetapi tidak lama lagi menjadi pengarah salah satu daripada institusi-institusi pengajian tinggi. Keinginan untuk pembangunan diri dan membolehkan beliau untuk mencadangkan satu teori baru bukti teorem Pythagoras. Teorem dan contoh penyelesaiannya adalah seperti berikut.

Pertama, ia adalah perlu untuk menarik pada kertas dua segi tiga segi empat tepat supaya satu kaki yang merupakan kesinambungan daripada yang kedua. Bucu segi tiga ini perlu disambungkan kepada berakhir mendapat trapeze a.

Seperti diketahui, kawasan trapezoid adalah sama dengan produk yang setengah jumlah wang yang asas dan ketinggian.

S = a + b / 2 * (a + b)

Jika kita menganggap trapezoid yang dihasilkan, sebagai tokoh terdiri daripada tiga segi tiga, kawasannya boleh didapati seperti berikut:

S = aw / 2 * 2 + ^2/2

Kini ia adalah perlu menyamakan kedudukan dua ungkapan asal

2av / 2 + c / 2 = (a + b) ^2/2

² = a ² + ²

Tentang Pythagoras dan bagaimana untuk membuktikan anda tidak boleh menulis buku teks jilid. Tetapi tidak masuk akal apabila pengetahuan yang tidak boleh digunakan dalam amalan?

aplikasi praktikal teorem Pythagoras

Malangnya, dalam kurikulum sekolah moden memperuntukkan penggunaan teorem ini hanya dalam masalah geometri. Graduan tidak lama lagi akan meninggalkan dinding sekolah, dan tidak mengetahui, dan bagaimana mereka boleh menggunakan pengetahuan dan kemahiran mereka dalam amalan.

Malah, untuk menggunakan teorem Pythagoras dalam kehidupan harian mereka boleh setiap. Dan bukan sahaja dalam aktiviti profesional, tetapi juga dalam kerja-kerja rumah biasa. Pertimbangkan beberapa kes di mana teorem Pythagoras dan bagaimana untuk membuktikan ia boleh menjadi sangat perlu.

teorem komunikasi dan astronomi

Ia akan kelihatan seolah-olah ia boleh dikaitkan dengan bintang-bintang dan segi tiga di atas kertas. Malah, astronomi - kawasan saintifik di mana digunakan secara meluas teorem Pythagoras.

Sebagai contoh, pertimbangkan pergerakan pancaran cahaya di angkasa. Adalah diketahui bahawa cahaya bergerak dalam kedua-dua arah pada kelajuan yang sama. AB trajektori, yang bergerak rasuk cahaya dipanggil l. Dan separuh masa yang diperlukan untuk cahaya untuk pergi dari titik A ke titik B, kita panggil t. Dan kelajuan rasuk - c. Ia ternyata bahawa: c * t = l

Jika anda melihat rasuk ini sama pesawat lain, sebagai contoh, sebuah kapal angkasa, yang bergerak dengan kelajuan v, kemudian di bawah badan-badan pengawasan sedemikian akan mengubah kelajuan mereka. Walau bagaimanapun, walaupun unsur-unsur tetap akan bergerak dengan halaju v ke arah yang bertentangan.

Katakan liner komik terapung betul. Maka titik A dan B, yang koyak antara rasuk akan bergerak ke kiri. Lebih-lebih lagi, apabila bergerak rasuk dari titik A ke titik B, titik A masa untuk bergerak, dan, dengan itu, Terang telah datang ke titik C. baru Untuk mencari separuh jarak di mana titik A telah berpindah, ia adalah perlu untuk membiak kelajuan kapal pada separuh masa perjalanan rasuk (t ').

d = t '* v

Dan untuk mencari sejauh mana dalam masa itu dapat lulus pancaran cahaya diperlukan untuk menandakan titik tengah yang baru beech s dan ungkapan berikut:

s = c t * '

Jika kita bayangkan bahawa titik cahaya C dan B, serta kapal ruang - adalah bahagian atas segi tiga sama kaki, segmen dari titik A untuk pelapik akan berpecah kepada dua segi tiga bersudut tegak. Oleh itu, terima kasih kepada teorem Pythagoras boleh mencari jarak yang dapat lulus pancaran cahaya.

s = l ^{2 2} + d ²

Contoh ini adalah, sudah tentu, bukan yang terbaik, kerana hanya beberapa boleh cukup bertuah untuk mencuba dalam amalan. Oleh itu, kami mengambil kira aplikasi yang lebih biasa teorem ini.

Radius penghantaran isyarat mudah alih

kehidupan moden adalah mustahil untuk membayangkan tanpa kewujudan telefon pintar. Tetapi berapa ramai daripada mereka perlu proc jika mereka tidak dapat menyambung pelanggan melalui mudah alih!

kualiti komunikasi mudah alih secara langsung bergantung kepada ketinggian di mana antena untuk menjadi pengendali mudah alih. Dalam usaha untuk memikirkan bagaimana jauh dari menara telefon mudah alih boleh menerima isyarat, anda boleh menggunakan teorem Pythagoras.

Katakan anda hendak mencari ketinggian anggaran menara yang tetap, supaya ia boleh mengedarkan isyarat dalam radius 200 kilometer.

AB (ketinggian menara) = x;

Sun (Signal jejari) = 200 km;

OC (jejari bumi) = 6380 km;

di sini

OB = OA + AVOV = r + x

Menggunakan teorem Pythagoras, kita mengetahui apa yang ketinggian menara minimum harus 2.3 kilometer.

teorem Pythagoras di rumah

cukup aneh, teorem Pythagoras boleh menjadi berguna walaupun dalam hal-hal dalam negeri seperti penentuan ketinggian petak kabinet, sebagai contoh. Pada pandangan pertama, tidak ada keperluan untuk menggunakan pengiraan kompleks itu, kerana anda hanya boleh mengambil ukuran anda dengan pita pengukur. Tetapi ramai tertanya-tanya mengapa proses membina terdapat beberapa masalah, jika semua ukuran telah diambil alih tepat.

Hakikatnya adalah bahawa almari akan dalam kedudukan mendatar dan kemudian dibangkitkan dan dipasang pada dinding. Oleh itu, dinding sebelah kabinet dalam proses mengangkat reka bentuk perlu mengalir dengan bebas dan tinggi, dan ruang pepenjuru.

Katakan anda mempunyai almari pakaian 800 mm mendalam. Jarak dari lantai ke siling - 2600 mm. pembuat kabinet yang berpengalaman mengatakan bahawa ketinggian kandang hendaklah sekurang-126 mm kurang daripada ketinggian dari bilik. Tetapi mengapa pada 126mm? Pertimbangkan contoh berikut.

Di bawah dimensi yang ideal bagi kabinet akan menyemak tindakan Teorem Pythagoras:

√AV AC = ² + ² √VS

AU = √2474 ² 800 ² = 2600 mm - semua bersatu.

Katakan, ketinggian kabinet tidak sama dengan 2474 mm dan 2505 mm. kemudian:

AU = √2505 ² + √800 = 2629 mm ^2.

Akibatnya, kabinet ini tidak sesuai untuk pemasangan di dalam bilik. Sejak bila mengambil kedudukan menegak yang boleh menyebabkan kerosakan kepada tubuhnya.

Mungkin dianggap sebagai cara yang berbeza untuk membuktikan Pythagoras Theorem oleh ahli sains yang berbeza, kita boleh menyimpulkan bahawa ia adalah lebih daripada benar. Kini anda boleh menggunakan maklumat dalam kehidupan seharian mereka, dan menjadi benar-benar yakin bahawa semua pengiraan adalah bukan sahaja berguna, tetapi juga benar.