Teori kebarangkalian. Kebarangkalian suatu peristiwa, acara sekali-sekala (teori kebarangkalian). perkembangan bebas dan tidak sesuai dalam teori kebarangkalian

Ia tidak mungkin bahawa ramai orang berfikir ia adalah mungkin untuk mengira peristiwa-peristiwa yang sedikit sebanyak tidak sengaja. Untuk meletakkan ia dalam erti kata yang mudah, adakah ia realistik untuk tahu sebelah mana kiub dalam dadu akan jatuh masa akan datang. Ia adalah soalan ini minta dua saintis yang hebat, meletakkan asas bagi sains ini, teori kebarangkalian, kebarangkalian peristiwa di mana dikaji cukup meluas.

generasi

Jika anda cuba untuk menentukan konsep seperti itu sebagai teori kebarangkalian, kita akan mendapat yang berikut: ini adalah salah satu daripada cabang matematik yang mengkaji keteguhan peristiwa rawak. Jelas sekali, konsep ini benar-benar tidak mendedahkan intipati, jadi anda perlu untuk mempertimbangkan dengan lebih terperinci.

Saya ingin memulakan dengan pengasas teori. Seperti yang telah disebutkan di atas, terdapat dua, yang Penerbangan Ferma dan Blez Paskal. Mereka yang pertama cuba menggunakan formula dan pengiraan matematik untuk mengira hasil sesuatu peristiwa. Secara umum, asas-asas sains ini adalah walaupun pada Zaman Tengah. Manakala pelbagai pemikir dan ahli-ahli sains telah cuba untuk menganalisis permainan kasino seperti roulette, craps, dan sebagainya, dengan itu untuk mewujudkan corak, dan kehilangan peratusan nombor. Yayasan itu juga meletakkan pada abad ketujuh belas ia adalah ulama yang dinyatakan di atas.

Pada mulanya, kerja mereka tidak boleh dikaitkan dengan pencapaian yang besar dalam bidang ini, selepas semua, apa yang mereka lakukan, mereka hanya fakta empirikal dan eksperimen adalah jelas tanpa menggunakan formula. Lama kelamaan, ia berpaling kepada mencapai keputusan yang hebat, yang muncul sebagai hasil daripada pemerhatian pelakon tulang. Ia instrumen ini telah membantu untuk membawa formula berbeza yang pertama.

penyokong

Apatah lagi seorang lelaki sebagai Christiaan Huygens, dalam proses belajar subjek yang menanggung nama "teori kebarangkalian" (kebarangkalian peristiwa yang menonjolkan dalam sains ini). orang ini adalah sangat menarik. Beliau, dan juga ahli-ahli sains dibentangkan di atas diuji dalam bentuk formula matematik untuk menyimpulkan corak peristiwa rawak. Perlu diperhatikan bahawa dia tidak berkongsi dengan Pascal dan Fermat, yang semua kerja-kerja yang tidak bertindih dengan minda. Huygens diperolehi konsep asas teori kebarangkalian.

Satu fakta menarik ialah bahawa kerja-kerja datang lama sebelum keputusan dari perbuatan perintis, lebih tepat, dua puluh tahun lebih awal. Hanya ada antara konsep-konsep yang dikenal pasti adalah:

• sebagai konsep nilai kebarangkalian peluang;
• jangkaan untuk kes diskret;
• teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian.

Juga, kita tidak boleh lupa Yakoba Bernulli, yang juga menyumbang kepada kajian masalah. Melalui mereka sendiri, baik daripada mereka adalah ujian bebas, beliau dapat mengemukakan bukti undang-undang jumlah yang besar. Sebaliknya, ahli-ahli sains Poisson dan Laplace, yang bekerja di awal abad kesembilan belas, dapat membuktikan teorem asal. Seketika itu juga untuk menganalisis kesilapan dalam pemerhatian kita mula menggunakan teori kebarangkalian. Parti sekitar ilmu ini tidak dapat dan Rusia saintis, bukan Markov, Chebyshev dan Dyapunov. Mereka adalah berdasarkan kepada kerja yang dilakukan genius hebat, dijamin subjek ini sebagai satu cabang matematik. Kami bekerja angka-angka ini pada akhir abad kesembilan belas, dan terima kasih kepada sumbangan mereka, telah terbukti fenomena seperti:

• hukum nombor besar;
• Teori rantaian Markov;
• Teorem had pusat.

Jadi, sejarah kelahiran sains dan dengan personaliti utama yang menyumbang kepadanya, segala-galanya adalah lebih atau kurang jelas. Kini sudah tiba masanya untuk daging daripada semua fakta.

konsep asas

Sebelum anda menyentuh undang-undang dan teorem perlu belajar konsep asas teori kebarangkalian. Sekiranya ia menduduki peranan yang dominan. topik ini agak luas, tetapi tidak akan dapat memahami semua yang lain tanpa ia.

Acara dalam teori kebarangkalian - ia Mana-mana set hasil eksperimen. Konsep fenomena ini tidak cukup. Oleh itu, Lotman saintis yang bekerja di kawasan ini, telah menyatakan bahawa dalam kes ini kita bercakap mengenai apa yang "berlaku, walaupun ia tidak boleh berlaku."

peristiwa rawak (teori kebarangkalian membayar perhatian khusus kepada mereka) - adalah satu konsep yang melibatkan mutlak mana-mana fenomena mempunyai kemungkinan untuk berlaku. Atau, sebaliknya, senario ini tidak boleh berlaku dalam melaksanakan pelbagai keadaan. Ia juga adalah bernilai mengetahui yang menduduki jumlah keseluruhan fenomena yang berlaku dalam acara hanya rawak. teori kebarangkalian menunjukkan bahawa semua keadaan boleh diulang terus-menerus. Ia adalah perbuatan mereka telah dipanggil "pengalaman" atau "ujian."

peristiwa penting - ini adalah satu fenomena yang seratus peratus dalam ujian ini berlaku. Oleh itu, acara yang mustahil - ini adalah sesuatu yang tidak berlaku.

Menggabungkan pasangan Tindakan (konvensional kes A dan kes B) adalah satu fenomena yang berlaku secara serentak. Mereka dirujuk sebagai AB.

Jumlah pasang peristiwa A dan B - C adalah, dalam erti kata lain, jika sekurang-kurangnya salah seorang daripada mereka akan (A atau B), anda akan mendapat C. Formula fenomena digambarkan ditulis sebagai C = A + B.

perkembangan yang tidak sesuai di teori kebarangkalian menunjukkan bahawa kedua-dua kes adalah saling eksklusif. Pada masa yang sama mereka berada di mana-mana tidak boleh berlaku. aktiviti bersama dalam teori kebarangkalian - ia adalah antipode mereka. Implikasinya adalah bahawa jika A berlaku, ia tidak menghalang C.

Menentang acara (teori kebarangkalian menganggap mereka secara terperinci), adalah mudah difahami. Ia adalah yang terbaik untuk berurusan dengan mereka dalam perbandingan. Mereka adalah hampir sama perkembangan sebagai tidak serasi dalam teori kebarangkalian. Walau bagaimanapun, perbezaan mereka adalah bahawa salah satu daripada kepelbagaian fenomena dalam mana-mana perlu berlaku.

peristiwa sama mungkin - tindakan-tindakan, kemungkinan pengulangan adalah sama. Untuk menjelaskan, anda boleh bayangkan melambung duit syiling: kehilangan salah satu sisinya kerugian sama kemungkinan lain.

ia adalah lebih mudah untuk mempertimbangkan contoh memihak acara tersebut. Katakan ada satu episod dalam episod A. Yang pertama - gulungan yang die dengan kedatangan nombor ganjil, dan kedua - kemunculan nombor lima pada dadu. Kemudian ternyata bahawa A adalah V. disukai

peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian dijangka hanya pada dua kali atau lebih dan melibatkan bebas daripada sebarang tindakan daripada pihak lain. Sebagai contoh, A - rugi ekor syiling melambung, dan B - dostavanie jack dari dek. Mereka mempunyai acara bebas dalam teori kebarangkalian. Dari saat ini ia menjadi jelas.

peristiwa bergantung dalam teori kebarangkalian juga dibenarkan hanya untuk set mereka. Mereka membayangkan pergantungan satu di pihak yang lain, iaitu, fenomena ini boleh berlaku dalam hanya dalam kes apabila A telah berlaku atau, sebaliknya, tidak berlaku apabila ia adalah - syarat utama B.

Hasil eksperimen rawak yang terdiri daripada komponen tunggal - ia adalah aktiviti asas. teori kebarangkalian mengatakan bahawa ia adalah satu fenomena yang dilakukan hanya sekali.

formula asas

Oleh itu, di atas dianggap konsep "peristiwa", "teori kebarangkalian", definisi daripada terma-terma sains ini juga telah diberikan. Kini sudah tiba masanya untuk membiasakan dirinya dengan formula penting. Ungkapan ini adalah matematik mengesahkan semua konsep-konsep utama dalam apa-apa subjek yang sukar sebagai teori kebarangkalian. Kebarangkalian sesuatu peristiwa dan memainkan peranan yang besar.

Lebih baik untuk memulakan dengan formula asas kombinatorik. Dan sebelum anda mula mereka, ia adalah bernilai mengingati apa yang ada.

Kombinatorik - terutamanya cabang matematik, beliau telah membuat kajian yang besar bilangan bulat, dan pelbagai pilih atur bagi kedua-dua nombor dan unsur-unsur mereka, pelbagai data, dan lain-lain, yang membawa kepada beberapa kombinasi ... Selain teori kebarangkalian, industri ini adalah penting untuk statistik, sains komputer dan kriptografi.

Jadi sekarang anda boleh bergerak ke pembentangan diri mereka dan formula definisi mereka.

Yang pertama ini adalah ungkapan untuk bilangan pilih atur, ia adalah seperti berikut:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Persamaan boleh digunakan hanya dalam kes jika elemen hanya berbeza dalam susunan susunan.

Sekarang formula penempatan, ia kelihatan seperti ini akan diambil kira:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Ungkapan ini adalah terpakai bukan sahaja kepada satu-satunya unsur pesanan dibuat, tetapi juga untuk komposisinya.

Persamaan ketiga kombinatorik, dan ia yang kedua, dikenali sebagai formula untuk bilangan gabungan:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Gabungan dipanggil persampelan, yang tidak diperintahkan, masing-masing, untuk dan digunakan peraturan ini.

Dengan formula kombinatorik datang untuk memahami dengan mudah, anda kini boleh pergi ke definisi klasik kebarangkalian. Ia kelihatan seperti ungkapan ini seperti berikut:

P (A) = m: n.

Dalam formula ini, m - adalah jumlah keadaan yang kondusif untuk acara A, dan n - bilangan sama dan benar-benar semua acara rendah.

Terdapat banyak ungkapan-ungkapan dalam artikel itu tidak akan dipertimbangkan apa-apa tetapi yang terlibat akan menjadi orang-orang yang paling penting seperti, sebagai contoh, kebarangkalian peristiwa berjumlah:

P (A + B) = P (A) + P (B) - teorem ini untuk menambah hanya peristiwa saling eksklusif;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - tetapi ini adalah hanya untuk menambah serasi.

Kebarangkalian kerja-kerja acara:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - teorem ini untuk acara-acara bebas;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - dan ini untuk bersandar.

senarai berakhir formula acara. Teori kebarangkalian memberitahu kita teorem Bayes, yang kelihatan seperti ini:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Dalam formula ini, H _1, H _2, ..., _n H - adalah satu set lengkap hipotesis.

Di perhentian ini, permohonan sampel formula kini akan dipertimbangkan untuk tugas-tugas tertentu dari amalan.

contoh

Jika anda berhati-hati mengkaji mana-mana cawangan matematik, ia bukan tanpa latihan dan penyelesaian sampel. Dan teori kebarangkalian: peristiwa, contoh di sini adalah satu komponen penting dalam mengesahkan pengiraan saintifik.

Formula untuk bilangan pilih atur

Sebagai contoh, di dek kad mempunyai tiga puluh kad, bermula dengan yang nominal. Soalan seterusnya. Berapa banyak cara untuk lipat dek supaya kad dengan nilai muka satu dan dua tidak terletak di sebelah?

tugas yang ditetapkan, sekarang mari kita beralih kepada menanganinya. Pertama anda perlu untuk menentukan bilangan pilih atur tiga puluh unsur-unsur, untuk tujuan ini kita mengambil formula di atas, ternyata P_30 = 30!.

Berdasarkan kaedah ini, kita tahu berapa banyak pilihan yang ada untuk meletakkan dek dalam pelbagai cara, tetapi kita mesti ditolak daripada mereka adalah mereka di mana kad pertama dan kedua akan datang. Untuk melakukan ini, bermula dengan varian, apabila pertama terletak pada kedua. Ia ternyata bahawa peta pertama mungkin mengambil masa dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama untuk yang kedua puluh sembilan, dan kad kedua dari kedua untuk ketiga puluh itu, bertukar dua puluh sembilan kerusi untuk pasangan kad. Sebaliknya, orang lain boleh mengambil dua puluh lapan kerusi, dan dalam mana-mana perintah. Iaitu, untuk penyusunan semula yang kedua puluh lapan kad telah dua puluh lapan pilihan P_28 = 28!

Hasilnya adalah bahawa jika kita mempertimbangkan keputusan itu, apabila kad pertama adalah pada peluang tambahan kedua untuk mendapatkan 29 ⋅ 28! = 29!

Dengan menggunakan kaedah yang sama, anda perlu mengira bilangan opsyen berlebihan untuk kes apabila kad pertama terletak di bawah kedua. Juga memperolehi 29 ⋅ 28! = 29!

Dari ini, ia mengikuti bahawa pilihan tambahan 2 ⋅ 29!, Manakala cara yang perlu untuk mengumpul dek 30! - 2 ⋅ 29!. Ia kekal hanya untuk mengira.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sekarang kita perlu untuk membiak bersama-sama semua nombor 1-29, dan kemudian pada akhir semua didarabkan dengan 28. Jawapannya diperolehi 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Contoh penyelesaian. Formula untuk jumlah penginapan

Dalam masalah ini, anda perlu untuk mengetahui berapa banyak terdapat cara-cara untuk meletakkan lima belas jilid di atas rak, tetapi di bawah syarat bahawa hanya tiga puluh jilid.

Dalam tugas ini, keputusan sedikit lebih mudah daripada sebelumnya. Menggunakan formula yang sudah diketahui, ia adalah perlu untuk mengira jumlah bilangan tiga puluh lokasi lima belas jilid.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Sebagai tindak balas, masing-masing, akan sama dengan 202 843 204 931 727 360 000.

Oleh sebab itu, tugas yang lebih sukar. Anda perlu tahu berapa banyak terdapat cara-cara untuk menguruskan tiga puluh dua buku di rak, dengan syarat bahawa hanya lima belas jilid dapat tetap di atas rak yang sama.

Sebelum permulaan keputusan ingin menjelaskan bahawa sebahagian daripada masalah boleh diselesaikan dalam beberapa cara, dan dalam hal ini terdapat dua cara, tetapi dalam kedua-dua satu dan formula yang sama digunakan.

Dalam tugas ini, anda boleh mengambil jawapan dari yang sebelumnya, kerana kita telah dikira berapa kali anda boleh mengisi rak selama lima belas buku dalam cara yang berbeza. Ternyata A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Rejimen kedua dikira dengan rombakan formula, kerana ia diletakkan lima belas buku, manakala baki lima belas. Kami menggunakan formula P_15 = 15!.

Ia ternyata bahawa jumlah wang yang akan A_30 ^ 15 ⋅ P_15 cara, tetapi, di samping itu, hasil daripada semua nombor 30-16 akan didarabkan dengan darab nombor 1-15, pada akhirnya berubah hasil daripada semua nombor satu ke dua, iaitu jawapan adalah 30!

Tetapi masalah ini boleh diselesaikan dengan cara yang berbeza - lebih mudah. Untuk melakukan ini, anda boleh bayangkan bahawa ada satu rak untuk tiga puluh buku. Kesemua mereka diletakkan di atas kapal terbang ini, tetapi kerana keadaan memerlukan bahawa terdapat dua rak, satu lama kita menggergaji pada separuh, dua selekoh lima belas. Dari ini, ia ternyata bahawa untuk urusan ini boleh menjadi P_30 = 30!.

Contoh penyelesaian. Formula untuk jumlah kombinasi

Yang dianggap varian masalah ketiga kombinatorik. Anda perlu tahu berapa banyak cara yang ada untuk menguruskan lima belas buku dengan syarat bahawa anda perlu memilih daripada tiga puluh sama.

Untuk keputusan itu akan, sudah tentu, memohon formula untuk jumlah kombinasi. Dari syarat bahawa ia menjadi jelas bahawa perintah daripada lima belas buku yang sama tidak penting. Jadi pada mulanya anda perlu untuk mengetahui jumlah bilangan gabungan tiga puluh lima belas buku.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Itu sahaja. Menggunakan formula ini, dalam masa yang sesingkat mungkin untuk menyelesaikan masalah itu, jawapan, masing-masing, sama dengan 155.117.520.

Contoh penyelesaian. Takrif klasik kebarangkalian

Menggunakan formula yang diberikan di atas, seseorang boleh mencari jawapan dalam tugas yang mudah. Tetapi ia jelas akan melihat dan mengikuti tindakan.

Tugas ini memandangkan dalam kendi terdapat sepuluh bola benar-benar sama. Daripada jumlah ini, empat kuning dan enam biru. Diambil dari urn satu bola. Ia adalah perlu untuk mengetahui kebarangkalian dostavaniya biru.

Untuk menyelesaikan masalah ini, adalah perlu untuk menetapkan dostavanie biru acara bola A. Pengalaman ini mungkin mempunyai sepuluh hasil, yang, seterusnya, rendah dan sama mungkin. Pada masa yang sama, enam daripada sepuluh memihak kepada acara A. Menyelesaikan formula berikut:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Menggunakan formula ini, kami telah belajar bahawa kemungkinan dostavaniya bola biru adalah 0.6.

Contoh penyelesaian. Kebarangkalian peristiwa jumlah

Siapakah yang akan menjadi varian yang diselesaikan dengan menggunakan formula kebarangkalian peristiwa jumlah. Jadi, memandangkan syarat bahawa terdapat dua kes, yang pertama adalah kelabu dan lima bola putih, manakala yang kedua - lapan kelabu dan empat bola putih. Hasilnya, kotak pertama dan kedua telah diambil ke atas salah seorang daripada mereka. Ia adalah perlu untuk mengetahui apakah peluang yang tidak mempunyai bola kelabu dan putih.

Untuk menyelesaikan masalah ini, ia adalah perlu untuk mengenal pasti acara tersebut.

• Oleh itu, A - kita mempunyai bola kelabu kotak pertama: P (A) = 1/6.
• A '- mentol putih juga diambil dari kotak pertama: P (A') = 5/6.
• Yang - sudah diekstrak bola kelabu saluran kedua: P (B) = 2/3.
• B '- mengambil bola kelabu laci kedua: P (B') = 1/3.

Mengikut kepada masalah ini adalah perlu bahawa salah satu fenomena yang berlaku: AB 'atau' B. Menggunakan formula, kita peroleh: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Sekarang formula mendarabkan kebarangkalian telah digunakan. Seterusnya, untuk mengetahui jawapannya, anda perlu memohon persamaan mereka sambil menambah:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Itulah bagaimana, dengan menggunakan formula, anda boleh menyelesaikan masalah tersebut.

keputusan

kertas itu dikemukakan kepada maklumat pada "teori kebarangkalian", kebarangkalian peristiwa yang memainkan peranan yang penting. Sudah tentu, tidak semua yang telah dipertimbangkan, tetapi atas dasar teks yang dikemukakan, anda secara teori boleh berkenalan dengan cabang matematik. sains dianggap berguna bukan sahaja dalam perniagaan profesional, tetapi juga dalam kehidupan seharian. Anda boleh menggunakannya untuk mengira apa-apa kemungkinan sesuatu peristiwa.

Teks ini juga terjejas oleh tarikh penting dalam sejarah perkembangan teori kebarangkalian sebagai sains, dan nama-nama orang yang kerja-kerja telah dimasukkan ke dalamnya. Itulah bagaimana rasa ingin tahu manusia telah membawa kepada hakikat bahawa orang telah belajar untuk mengira, walaupun peristiwa rawak. Apabila mereka hanya berminat dalam hal ini, tetapi hari ini ia sudah diketahui oleh semua. Dan tidak ada yang dapat mengatakan apa yang akan berlaku kepada kita pada masa akan datang, apa-penemuan cemerlang lain yang berkaitan dengan teori yang sedang dibincangkan, akan dilakukan. Tetapi satu perkara yang pasti - kajian masih tidak berbaloi!