Polyhedra biasa: unsur-unsur simetri dan kawasan

Geometri adalah cantik kerana, tidak seperti algebra, yang tidak selalu jelas mengapa dan apa yang anda fikir, memberikan objek visual. Dunia indah pelbagai badan menghiasi polyhedra biasa.

Maklumat am mengenai polyhedra biasa

Menurut ramai, polyhedrons biasa, atau sebagai mereka telah dipanggil pepejal Platonic, mempunyai ciri-ciri yang unik. Dengan objek disambungkan beberapa hipotesis saintifik. Apabila anda mula untuk mengkaji data geometri badan, anda sedar bahawa hampir tidak tahu apa-apa tentang apa-apa konsep sebagai polyhedra biasa. Pembentangan objek di sekolah tidak selalu menarik, jadi ramai yang tidak ingat apa yang mereka dipanggil. Dalam ingatan kebanyakan orang ia hanya kiub. Tiada geometri badan tidak mempunyai kesempurnaan seperti polyhedrons biasa. Semua nama-nama badan-badan geometri berasal dari Greece purba. Mereka mewakili bilangan muka: tetrahedron - empat berat sebelah, pigur berenam segi - Allen, segi lapan - octagon, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Semua ini badan geometri menduduki tempat yang penting dalam konsep Plato alam semesta. Empat daripada mereka yang termaktub unsur-unsur atau entiti: tetrahedron - api, icosahedron yang - kiub air - tanah, segi lapan - udara. Dodekahedron terkandung segala sesuatu. Beliau dianggap sebagai utama, sebagai simbol alam semesta.

Generalisasi konsep polihedron yang

Polihedron adalah koleksi terhingga poligon itu bahawa:

• setiap sisi mana-mana daripada poligon adalah pada masa yang sama hanya sebelah poligon lain di sebelah yang sama;
• daripada setiap poligon anda boleh berjalan kaki ke lain dengan melepaskan bersebelahan dengannya poligon.

Poligon membentuk polihedron yang mewakili muka dan sisi mereka - tulang rusuk. mercu polyhedra adalah bucu poligon. Jika poligon jangka memahami polylines tertutup rata, kemudian datang kepada satu takrif polihedron a. Dalam kes di mana dengan istilah ini yang dimaksudkan sebahagian daripada pesawat yang disempadani oleh garis-garis pecah, ia akan permukaan difahami terdiri daripada keping poligon. polihedron cembung dipanggil badan berbaring di sebelah pesawat, bersebelahan dengan mukanya.

Satu lagi definisi polihedron dan unsur-unsurnya

Polihedron dipanggil permukaan terdiri daripada poligon, yang menghadkan badan geometri. Mereka ialah:

• bukan cembung;
• cembung (benar dan yang salah).

polihedron biasa - adalah polihedron cembung dengan simetri maksimum. Unsur-unsur polyhedra biasa:

• Tetrahedron: 6 rusuk 4 muka 5 mercu;
• pigur berenam segi (kiub) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• oktahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Teorem Euler

Ia membentuk hubungan antara bilangan tepi, mercu dan muka adalah topologically bersamaan dengan sfera. Menambah bilangan mercu dan muka (B + D) mempunyai polyhedra tetap berbeza dan membandingkan mereka dengan bilangan tulang rusuk, ia adalah mungkin untuk menetapkan satu peraturan: jumlah beberapa muka sama dengan bilangan mercu dan tepi (P) meningkat dengan 2. Ia adalah mungkin untuk mendapatkan formula yang mudah:

• B + D = P + 2.

formula ini adalah sah untuk semua polyhedra cembung.

definisi asas

Konsep polihedron tetap adalah mustahil untuk menerangkan dalam satu ayat. Ia adalah lebih bernilai dan kelantangan. badan yang diiktiraf oleh itu, ia adalah perlu bahawa ia memenuhi beberapa definisi. Oleh itu, sebuah badan geometri akan polihedron biasa apabila syarat-syarat ini dipenuhi:

• ia adalah cembung;
• jumlah yang sama rusuk menumpu pada setiap mercunya;
• semua aspek beliau - poligon sekata, sama dengan satu sama lain;
• Semua sudut dihedral adalah sama.

Sifat-sifat polyhedra biasa

Terdapat 5 jenis polyhedra biasa:

1. Cube (pigur berenam segi) - ia mempunyai sudut puncak rata adalah 90 °. Ia mempunyai sudut 3 berat sebelah. Amaun muka sudut di puncak 270 °.
2. Tetrahedron - sudut puncak rata - 60 °. Ia mempunyai sudut 3 berat sebelah. Amaun muka sudut di puncak - 180 °.
3. Segi lapan - sudut puncak rata - 60 °. Ia mempunyai sudut empat sisi. Amaun muka sudut di puncak - 240 °.
4. Dodekahedron - sudut puncak rata 108 °. Ia mempunyai sudut 3 berat sebelah. Amaun muka sudut di puncak - 324 °.
5. Icosahedron - ia mempunyai sudut puncak rata - 60 °. Ia mempunyai sudut lima berat sebelah. Amaun muka sudut di puncak 300 °.

Bidang polyhedra biasa

Kawasan permukaan badan geometri (S) dikira sebagai kawasan poligon sekata didarab dengan jumlah aspek (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Jumlah polihedron biasa

Nilai ini dikira dengan mendarabkan jumlah piramid biasa yang asas ialah poligon sekata, bilangan muka, dan tingginya ialah jejari tertulis sfera (r):

• V = 1: 3R.

Jilid polyhedra biasa

Seperti mana-mana geometri pepejal, polyhedra biasa yang lain mempunyai jumlah yang berbeza. Di bawah ini adalah formula yang mana mereka boleh mengira:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• segi lapan: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• pigur berenam segi (kiub): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Unsur-unsur polyhedra biasa

Pigur berenam segi dan segi lapan badan-badan geometri dua. Dalam erti kata lain, mereka boleh keluar dari satu sama lain sekiranya sentroid satu diambil sebagai bahagian atas yang lain, dan begitu juga sebaliknya. Juga dual icosahedron dan dodecahedron. Dirinya sahaja tetrahedron adalah dua. Menurut kaedah Euclid boleh diperolehi daripada pigur berenam segi dodecahedron dengan membina "bumbung" di muka kiub. Mercu tetrahedron adalah mana-mana 4 mercu kiub, tidak pasangan bersebelahan sepanjang pinggir. Dari pigur berenam segi (kiub) boleh diperolehi, dan polyhedra biasa yang lain. Walaupun fakta bahawa poligon sekata terdapat tidak terkira banyaknya, polyhedra biasa, terdapat hanya 5.

Jejari poligon sekata

Dengan setiap badan-badan geometri ialah sfera sepusat berhubung 3:

• digambarkan melalui mercu;
• tertulis mengenai setiap muka di tengah-tengah itu;
• median berdasarkan segala tepi di tengah-tengah.

Jejari sfera yang diterangkan oleh formula berikut dikira:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Jejari sfera tertulis dikira seperti berikut:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

mana θ - sudut dihedral yang merupakan antara aspek bersebelahan.

Jejari median sfera boleh dikira dengan menggunakan formula berikut:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

di mana h = magnitud 4.6, 6.10, atau 10. Nisbah jejari terterap diterangkan dan simetri terhadap p dan q. Ia dikira seperti berikut:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Simetri polyhedra

Simetri polyhedra biasa adalah kepentingan utama untuk badan-badan geometri. Ia difahami sebagai sebuah gerakan badan dalam ruang, yang meninggalkan jumlah yang sama mercu, muka dan tepi. Dalam erti kata lain, di bawah pengaruh simetri transformasi kelebihan, mercu, atau muka mengekalkan kedudukan asal, atau bergerak ke kedudukan rumah rusuk lain, bucu atau muka lain.

Unsur-unsur simetri polyhedra biasa adalah biasa kepada semua jenis pepejal geometri. Di sini ia dijalankan ke atas transformasi identiti, yang meninggalkan mana-mana mata dalam kedudukan asal. Jadi, apabila anda menghidupkan prisma poligon boleh mendapatkan beberapa simetri. Setiap orang boleh diwakili sebagai hasil renungan. Simetri, yang merupakan hasil daripada nombor genap pantulan, dipanggil langsung. Jika ia adalah hasil daripada nombor ganjil pantulan, maka ia dipanggil maklum balas. Oleh itu, semua bertukar sekitar garis mewakili simetri lurus. Apa-apa polihedron refleksi - adalah simetri songsang.

Untuk memahami unsur-unsur simetri polyhedra biasa yang lebih baik, anda boleh mengambil contoh tetrahedron. Mana-mana garis yang akan melalui salah satu daripada mercu dan tengah-tengah bentuk geometri, akan berlaku, dan melalui pusat tepi yang bertentangan dengannya. Setiap satu daripada selekoh 120 dan 240 ° sekitar garis tergolong dalam simetri tetrahedron jamak. Kerana ia 4 mercu dan muka, kita akan mendapat sejumlah lapan simetri langsung. Mana-mana talian melalui tengah-tengah bahagian tepi dan pusat badan, ia melalui pertengahan tepi yang bertentangan. Apa-apa putaran 180 °, yang dipanggil setengah-turn sekitar simetri lurus. Sejak tetrahedron mempunyai tiga pasang tulang rusuk, anda akan mendapat tiga barisan simetri. Berdasarkan maklumat di atas, kita boleh menyimpulkan bahawa jumlah bilangan simetri langsung, dan termasuk transformasi identiti, akan sehingga dua belas. Lain simetri tetrahedron langsung tidak wujud, tetapi ia mempunyai 12 simetri songsang. Akibatnya, hanya 24 mempunyai ciri-ciri simetri tetrahedron. Untuk penjelasan, kita boleh membina sebuah model tetrahedron biasa diperbuat daripada kadbod dan pastikan ia adalah badan geometri benar-benar mempunyai hanya 24 simetri.

Dodekahedron dan icosahedron - paling dekat dengan kawasan badan. Icosahedron mempunyai bilangan terbesar muka, sudut dihedral dan yang paling penting ketat boleh berpaut kepada sfera tertulis. Dodekahedron mempunyai sudut kecacatan sudut padu terbesar yang paling rendah di bucu. Ia boleh memaksimumkan untuk mengisi dalam bidang terbatas.

pengimbasan polyhedra

imbasan polyhedra biasa, yang kita semua terperangkap bersama-sama dalam zaman kanak-kanak, mempunyai banyak konsep. Jika terdapat satu set poligon, setiap sisi yang dikenal pasti dengan hanya sebelah polihedron itu, pengenalpastian pihak-pihak perlu mematuhi dua syarat:

• setiap poligon, anda boleh pergi ke sebuah poligon mempunyai pengenalan sebelah;
• sampingan yang boleh dikenal pasti harus mempunyai panjang yang sama.

Ia adalah satu set poligon yang memenuhi syarat-syarat ini, dan dipanggil imbasan polihedron. Setiap satu daripada badan-badan ini mempunyai beberapa daripada mereka. Sebagai contoh, kiub di mana terdapat 11 keping.