Poligon cembung. Definisi poligon cembung. Pepenjuru poligon cembung

Ini bentuk geometri terdapat di sekeliling kita. Cembung poligon adalah semulajadi, seperti sarang lebah atau tiruan (buatan manusia). Angka-angka ini digunakan dalam menghasilkan jenis salutan dalam seni, seni bina, hiasan, dan lain-lain poligon cembung mempunyai harta yang mata mereka berbaring di sebelah garis lurus yang melalui pasang mercu bersebelahan angka geometri. Terdapat definisi lain. Ia dipanggil poligon cembung, yang disusun dalam satu setengah pesawat berkenaan dengan mana-mana garis lurus yang mengandungi salah satu sisinya.

poligon cembung

Dalam perjalanan geometri asas sentiasa dilayan poligon amat mudah. Untuk memahami sifat-sifat bentuk geometri anda perlu memahami sifat mereka. Untuk mula memahami yang tertutup adalah mana-mana talian yang hujung adalah sama. Dan angka yang dibentuk olehnya, boleh mempunyai pelbagai konfigurasi. Polygon dipanggil poligaris tertutup mudah yang unit bersebelahan tidak terletak pada satu garis lurus. dan nod-cirinya adalah, masing-masing, sisi dan puncak angka geometri. A poligaris mudah tidak perlu bersilang sendiri.

bucu poligon dipanggil jiran, dalam kes mereka hujung salah satu sisinya. Seorang tokoh geometri, yang mempunyai beberapa n-ke-puncak dan dengan itu bilangan n-ke-pihak dipanggil n-gon itu. Dirinya talian rosak adalah sempadan atau kontur angka geometri. pesawat poligon atau poligon rata dipanggil bahagian akhir mana-mana kapal terbang, mereka yang terhad. sisi bersebelahan angka geometri dipanggil segmen Poligaris berasal dari bucu yang sama. Mereka tidak akan menjadi jiran jika mereka adalah berdasarkan kepada mercu berbeza poligon.

definisi lain poligon cembung

Dalam geometri asas, terdapat beberapa setara dalam definisi makna, yang menunjukkan apa yang dipanggil poligon cembung. Selain itu, semua kenyataan-kenyataan ini sama-sama benar. A poligon cembung adalah salah satu yang mempunyai:

• setiap segmen yang menghubungkan dua titik di dalamnya, terletak sepenuhnya di dalamnya;

• dalamnya berbohong semua pepenjuru itu;

• mana-mana sudut dalaman tidak lebih besar daripada 180 °.

Polygon sentiasa membahagikan pesawat kepada dua bahagian. Salah seorang daripada mereka - yang dihadkan (ia boleh dilampirkan dalam bulatan), dan yang lain - tidak terhad. Yang pertama dipanggil rantau dalaman, dan kedua - kawasan luar angka geometri. Ini adalah persimpangan poligon (dalam erti kata lain - jumlah komponen) beberapa separuh pesawat. Oleh itu, setiap segmen mempunyai hujung di tempat-tempat yang tergolong dalam poligon yang sama sekali kepunyaan dia.

Jenis poligon cembung

Definisi poligon cembung tidak menunjukkan bahawa terdapat pelbagai jenis mereka. Dan setiap daripada mereka mempunyai kriteria tertentu. Oleh itu, poligon cembung, yang mempunyai sudut dalaman 180 °, yang disebut sedikit cembung. Angka geometri cembung yang mempunyai tiga puncak, dipanggil segi tiga, empat - empat, lima - pentagon, dan lain-lain Setiap satu daripada cembung n-gons memenuhi syarat-syarat penting yang berikut: .. N mesti sama dengan atau lebih besar daripada 3. Setiap satu daripada segi tiga adalah cembung. Angka geometri jenis ini di mana semua mercu terletak pada bulatan, yang dipanggil bulatan terterap. Digambarkan poligon cembung dipanggil jika semua pihak di seluruh kalangan untuk menyentuhnya. Dua poligon dipanggil sama hanya dalam kes apabila menggunakan tindanan boleh digabungkan. poligon rata dipanggil pesawat poligon (a bahagian kapal terbang) bahawa angka ini geometri terhad.

poligon cembung biasa

poligon sekata dipanggil bentuk geometri dengan sudut dan sisi yang sama. Di dalamnya terdapat satu titik 0, yang merupakan jarak yang sama dari setiap mercunya. Ia dipanggil pusat angka geometri. Lines menghubungkan pusat bandar dengan mercu angka geometri dipanggil apotem, dan orang-orang yang menghubungkan titik 0 dengan pihak - jejari.

rectangle betul - persegi. segi tiga sama sisi dipanggil sama sisi. Untuk bentuk itu semuanya adalah kaedah yang berikut: setiap sudut poligon cembung adalah 180 ° * (n-2) / n,

di mana n - bilangan bucu angka geometri cembung.

Kawasan mana-mana poligon sekata ditentukan oleh formula:

S = p * h,

di mana p adalah sama dengan separuh jumlah semua sisi poligon, dan h adalah apotem panjang.

Properties poligon cembung

Cembung poligon mempunyai ciri-ciri tertentu. Oleh itu, segmen yang menghubungkan dua titik tokoh geometri, semestinya terletak di dalamnya. bukti:

Katakan P - poligon cembung. Mengambil dua mata sewenang-wenangnya, cth, A dan B, yang tergolong dalam P. Oleh takrif semasa poligon cembung, perkara ini terletak di sebelah garis lurus yang mengandungi apa-apa arahan R. Oleh itu, AB juga mempunyai sifat ini dan terkandung dalam R. A poligon cembung sentiasa boleh dibahagikan kepada beberapa segitiga benar-benar semua pepenjuru, yang telah mengadakan satu mercunya.

Sudut bentuk geometri cembung

Sudut poligon cembung - adalah sudut yang dibentuk oleh pihak-pihak. sudut dalam adalah di kawasan itu dalam angka geometri. Sudut yang dibentuk oleh tepinya yang berkumpul di bucu, dipanggil sudut poligon cembung. Sudut bersebelahan kepada sudut-sudut dalaman angka geometri, yang dipanggil luaran. Setiap sudut poligon cembung, disusun di dalamnya, adalah:

180 ° - x

mana x - nilai di luar sudut. Formula mudah boleh digunakan untuk apa-apa jenis bentuk geometri tersebut.

Secara umum, untuk sudut luar wujud mengikuti peraturan: setiap sudut poligon cembung bersamaan dengan perbezaan antara 180 ° dan nilai sudut pedalaman. Ia boleh mempunyai nilai dari -180 ° hingga 180 °. Oleh itu, apabila sudut dalaman adalah 120 °, rupa akan mempunyai nilai 60 °.

Yang jumlah sudut poligon cembung

Hasil tambah sudut pedalaman poligon cembung ditubuhkan oleh formula:

180 ° * (n-2),

di mana n - bilangan mercu n-gon itu.

Jumlah sudut poligon cembung dikira dengan agak mudah. Mempertimbangkan sebarang bentuk geometri tersebut. Untuk menentukan jumlah sudut dalam poligon cembung perlu menyambung satu mercu kepada mercu lain. Hasil daripada tindakan ini bertukar (n-2) segitiga. Adalah diketahui bahawa jumlah sudut mana-mana segi tiga sentiasa 180 °. Oleh kerana bilangan mereka dalam sebarang poligon sama (n-2), jumlah sudut dalaman angka itu bersamaan 180 ° x (n-2).

Amaun sudut poligon cembung, iaitu mana-mana dua sudut dalaman dan luaran bersebelahan dengan mereka, dalam rajah geometri cembung ini akan sentiasa sama dengan 180 °. Atas dasar ini, kita boleh menentukan jumlah semua sudutnya:

180 x n.

Hasil tambah sudut pedalaman adalah 180 ° * (n-2). Oleh itu, jumlah semua sudut luar angka yang ditetapkan oleh formula:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Jumlah sudut luar sesuatu poligon cembung akan sentiasa sama dengan 360 ° (tanpa mengira bilangan sisi yang).

sudut luar poligon cembung biasanya diwakili oleh perbezaan di antara 180 ° dan nilai sudut pedalaman.

ciri-ciri lain poligon cembung

Selain daripada sifat-sifat asas data angka geometri, mereka juga mempunyai lain, yang berlaku apabila mengendalikan mereka. Oleh itu, mana-mana poligon boleh dibahagi kepada beberapa cembung n-gons. Untuk melakukan ini, terus kepada setiap penjurunya dan memotong bentuk geometri di sepanjang garisan-garisan lurus. Split sebarang poligon kepada beberapa bahagian cembung adalah mungkin dan supaya bahagian atas setiap keping bertepatan dengan semua mercunya. Dari seorang tokoh geometri boleh menjadi sangat mudah untuk membuat segi tiga melalui semua pepenjuru dari satu bucu. Oleh itu, mana-mana poligon, akhirnya, boleh dibahagikan kepada sebilangan segi tiga, yang sangat berguna dalam menyelesaikan pelbagai tugas yang berkaitan dengan bentuk geometri tersebut.

Perimeter poligon cembung

Segmen Poligaris, parti-parti poligon dipanggil, selalunya ditandakan dengan huruf berikut: ab, bc, cd, de, ea. Ini sampingan seorang tokoh geometri dengan mercu a, b, c, d, e. Jumlah bagi panjang sisi poligon cembung dipanggil perimeter.

Lilitan poligon

Cembung poligon boleh dimasukkan dan diterangkan. Circle tangen kepada semua sisi angka geometri, yang dipanggil tertulis ke dalamnya. poligon ini dipanggil diterangkan. Bulatan pusat yang tertulis dalam poligon adalah titik persilangan bisectors sudut dalam bentuk geometri yang diberikan. Kawasan poligon adalah sama dengan:

S = p * r,

di mana r - jejari bulatan terterap dan p - semiperimeter poligon ini.

Bulatan yang mengandungi bucu poligon, yang dipanggil digambarkan berhampiran. Tambahan pula, angka geometri cembung ini dipanggil tertulis. Pusat bulatan, yang digambarkan tentang apa-apa poligon ialah titik persilangan yang dipanggil midperpendiculars semua pihak.

Diagonal bentuk geometri cembung

Pepenjuru poligon cembung - segmen yang menghubungkan tidak jiran mercu. Setiap daripada mereka adalah dalam bentuk geometri ini. Bilangan pepenjuru daripada n-gon ditetapkan mengikut formula:

N = n (n - 3) / 2.

Bilangan pepenjuru poligon cembung memainkan peranan yang penting dalam geometri asas. Bilangan segi tiga (K), yang boleh mematahkan setiap poligon cembung, dikira dengan formula berikut:

K = n - 2.

Bilangan pepenjuru poligon cembung sentiasa bergantung kepada bilangan mercu.

Partition poligon cembung

Dalam beberapa kes, untuk menyelesaikan tugas-tugas geometri perlu untuk memecahkan sebuah poligon cembung ke dalam beberapa segitiga dengan pepenjuru tidak bersilang. Masalah ini boleh diselesaikan dengan mengeluarkan formula tertentu.

Mendefinisikan masalah: panggilan jenis kanan partition cembung n-gon menjadi beberapa segi tiga dengan pepenjuru yang bersilang hanya pada bucu suatu bentuk geometri.

Penyelesaian: Katakan P1, P2, P3, ..., Pn - bahagian atas n-gon itu. Nombor Xn - bilangan partition itu. Berhati-hati mempertimbangkan yang terhasil pepenjuru angka geometri Pi Pn. Dalam mana-mana partition biasa P1 Pn tergolong dalam sebuah segitiga tertentu P1 Pi Pn, di mana 1

Biarkan i = 2 adalah kumpulan partition biasa, sentiasa mengandungi pepenjuru P2 Pn. Bilangan partition yang termasuk di dalamnya, sama dengan bilangan partition (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Dalam erti kata lain, ia adalah sama dengan Xn-1.

Jika i = 3, maka partition kumpulan yang lain akan sentiasa mengandungi P3 P1 pepenjuru dan P3 Pn. Bilangan partition betul yang terkandung dalam kumpulan itu, akan bertepatan dengan jumlah partition (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Dalam erti kata lain, ia akan menjadi Xn-2.

Biarkan i = 4, maka segi tiga antara partition yang betul pasti akan mengandungi sebuah segitiga P1 Pn P4, yang akan bersebelahan segi empat P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. Bilangan partition betul sisiempat seperti sama X4, dan bilangan partition (n-3) -gon sama Xn-3. Berdasarkan perkara di atas, kita boleh mengatakan bahawa jumlah bilangan partition biasa yang terkandung dalam kumpulan ini sama Xn-3 X4. kumpulan-kumpulan lain, di mana i = 4, 5, 6, 7 ... akan mengandungi 4 Xn-X5, X-5 X6, X-6 ... X7 partition biasa.

Biarkan i = n-2, jumlah partition yang betul dalam kumpulan yang dinyatakan akan bertepatan dengan jumlah partition dalam kumpulan, di mana i = 2 (dalam erti kata lain, sama Xn-1).

Sejak X1 = X2 = 0, X3 = 1 dan X4 = 2, ..., jumlah partition poligon cembung ialah:

Xn = xn-1 + Xn-2 + Xn-3, xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 xn-xn-X 4 + 3 + 2 xn-xn-1.

contoh:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Bilangan partition betul bersilang dalam masa satu pepenjuru

Apabila memeriksa kes-kes individu, ia boleh dianggap bahawa jumlah pepenjuru cembung n-gon adalah sama dengan hasil darab semua partition corak carta ini (n-3).

Bukti andaian ini: menganggap bahawa P1n = Xn * (n-3), maka apa-apa n-gon boleh dibahagikan kepada (n-2) adalah segi tiga. Dalam kes ini salah seorang daripada mereka boleh disusun (n-3) -chetyrehugolnik. Pada masa yang sama, setiap segi empat adalah pepenjuru. Sejak angka geometri cembung ini dua pepenjuru boleh dijalankan, yang bermaksud bahawa dalam mana-mana (n-3) -chetyrehugolnikah boleh menjalankan tambahan pepenjuru (n-3). Atas dasar ini, kita boleh menyimpulkan bahawa di mana-mana partition yang betul mempunyai peluang untuk (n-3) mesyuarat -diagonali keperluan tugas ini.

Kawasan poligon cembung

Selalunya, dalam menyelesaikan pelbagai masalah geometri asas terdapat keperluan untuk menentukan kawasan poligon cembung. Menganggap bahawa (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n mewakili urutan koordinat semua mercu jiran poligon, tidak mempunyai persimpangan diri. Dalam kes ini, kawasan yang dikira dengan formula berikut:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

mana (X _1, Y _{1) = (X n 1, Y} n + _1).