Janjang geometri dan sifat-sifatnya

janjang geometri adalah penting dalam matematik sebagai sains, dan digunakan ketara, kerana ia mempunyai skop yang amat luas, walaupun dalam matematik yang lebih tinggi, sebagai contoh, dalam teori siri. Maklumat pertama mengenai kemajuan yang datang kepada kami dari Mesir purba, terutamanya dalam bentuk satu masalah terkenal papirus Rhind tujuh orang yang mempunyai tujuh kucing. Variasi tugas ini telah berulang kali pada masa yang berlainan dari negara-negara lain. Malah Velikiy Leonardo Pizansky, yang dikenali sebagai Fibonacci (XIII c.), Bercakap kepada beliau di dalam bukunya "Kitab Abacus."

Supaya janjang geometri mempunyai sejarah purba. Ia merupakan satu turutan nombor dengan ahli pertama bukan sifar, dan setiap berikutnya, bermula dengan kedua ditentukan dengan mendarabkan formula berulang sebelumnya pada pemalar nombor, bukan sifar yang dipanggil perkembangan penyebut (ia biasanya ditetapkan menggunakan huruf q).
Jelas sekali, ia boleh didapati dengan membahagikan setiap penggal berikutnya urutan yang lama, iaitu z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Oleh itu, untuk kemajuan pekerjaan yang paling (zn) yang cukup bahawa ia tahu nilai penggal pertama penyebut dan y 1 q.

Sebagai contoh, mari z 1 = 7, q = - 4 (q <0), maka janjang geometri berikut diperolehi 7 - 28, 112-448, .... Seperti yang anda lihat, urutan yang terhasil tidak membosankan.

Ingat bahawa urutan sewenang-wenangnya membosankan (meningkat / menurun) apabila salah seorang ahlinya mengikuti lebih / kurang daripada yang sebelumnya. Sebagai contoh, urutan 2, 5, 9, ..., dan -10, -100, -1000, ... - Monotone, yang kedua - satu janjang geometri berkurangan.

Dalam kes di mana q = 1, semua ahli didapati tidak, dan ia dipanggil perkembangan yang berterusan.

Urutan ini adalah perkembangan jenis ini, ia mesti memenuhi syarat yang perlu dan mencukupi yang berikut, iaitu: bermula dari kedua, setiap ahlinya perlu min geometri ahli jiran.

Hartanah ini membenarkan di bawah dua dapatan bersebelahan perkembangan jangka sewenang-wenangnya tertentu.

n-th jangka pesat dijumpai oleh formula: zn = z 1 * q ^ (n-1), z setelah mengetahui bahawa ahli pertama 1 dan q penyebut.

Sejak urutan nombor mempunyai sejumlah wang, kemudian beberapa pengiraan yang mudah memberikan kita formula untuk mengira hasil tambah janjang pertama ahli, iaitu:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Menggantikan, dalam formula yang nilai ungkapan zn z 1 * q ^ (n-1) untuk mendapatkan formula jumlah kedua perkembangan: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Adalah layak perhatian fakta menarik berikut: tablet tanah liat yang terdapat dalam penggalian Babel purba, yang merujuk kepada VI. BC, mengandungi cara yang luar biasa jumlah 1 + 2 + ... + 22 + 29 sama dengan 2 tolak kuasa kesepuluh 1. Penjelasan fenomena ini masih belum dijumpai.

Kita perhatikan salah satu daripada sifat-sifat janjang geometri - kerja yang berterusan ahli-ahlinya, dijarakkan pada jarak yang sama dari ujung urutan.

Kepentingan tertentu dari sudut pandangan sains, perkara yang sedemikian sebagai suatu janjang geometri tak terhingga dan mengira jumlah itu. Dengan anggapan bahawa (yn) - penyebut q janjang geometri yang mempunyai, memenuhi syarat | q | <1, jumlah itu akan dirujuk kepada had ke arah yang kita sudah tahu jumlah ahli yang pertama, dengan peningkatan kurnia yang amat besar n, kemudian mempunyai sekurang-ia menghampiri infiniti.

Mencari jumlah ini sebagai hasil daripada menggunakan formula:

S n = y 1 / (1- q).

Dan, kerana pengalaman telah menunjukkan, untuk kesederhanaan jelas perkembangan ini adalah tersembunyi potensi permohonan yang besar. Sebagai contoh, jika kita membina urutan dataran mengikut algoritma berikut, yang menghubungkan titik tengah yang sebelumnya, maka mereka membentuk satu janjang geometri tak terhingga persegi mempunyai penyebut 1/2. Bentuk perkembangan sama dan kawasan segi tiga, diperolehi pada setiap peringkat pembinaan, dan jumlah wang adalah sama dengan luas segiempat asal.